逻辑联结词与四种命题

   [主要内容]：

　　1．了解命题的概念与结构，能判断简单命题的真假。

　　2．理解“或”、“且”、“非”的含义，明确它们与并集、交集、补集的对应关系。

　　3．理解真值表的含义，能利用真值表对复合命题的真假作判断。

　　4．能准确给出一个命题的否命题，逆命题和逆否命题。

　　5．理解四种命题之间的关系，并利用其来判断命题的真假。

　　[重点]：1．“或”、“且”、“非”的含义。2．真值表的运用。3．四种命题及其关系。

　　[难点]：1．“或”、“且”、“非”的含义。2．“否命题”与“命题的否定”之间的区别。

　　[学习建议]：立足命题这个基本概念，把握“或”、“且”、“非”的含义，尤其注意“或”与“且”的不同；正确理解四种命题之间的关系。

　　1．关于命题的两个定义

　　关于命题，初中的定义是：判断一件事情的语句叫命题；高中的定义是可以判断真假的语句叫命题。这两个定义都不严格。两个定义中使用的“判断”一词，与语文中通常的意义不尽相同。在逻辑学上，它的意义是：判断是对客观事物有所肯定或否定的思维形式，判断有真有假。所以，初中和高中的两个定义在意义上是完全相同的：命题是这样二个语句，这个语句能够判断真假。例如语句“4的平方根是2”，作为一个判断，它是错误的，所以它是命题，是假命题。

　　2．关于“或”、“且”的含义

　　复合命题“p或q”与“p且q是用逻辑联结词“或”与“且”联结两个命题p与q，既不能用“或”与“且”去联结两个命题的条件，也不能用它们去联结两个命题的结论。

　　例1、(1)已知p：方程(x-1)(x-2)＝0的根是x＝1。q：方程(x-1)(x-2)＝0的根是x＝2，写出“p或q”。
　　(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，写出“p且q”。

　　错解：(1)p或q：方程(x-1)(x-2)＝0的根是x＝1或x＝2；(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形。

　　分析：(1)(2)两题中的p，q都是假命题，所以“p或q”、“p且q”也都是假命题，而上述解答中写出的两个命题却都是真命题。错误的原因是：(1)联结了两命题的结论；(2)联结了两命题的条件。

　　正确的答案是：
　　(1)p或q：方程(x-1)(x-2)＝0的根是x＝l或方程(x-1)(x-2)＝0的根是x＝2。
　　(2)p且q, 四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形。

　　这两个命题都是假命题。
　　但是，在不影响命题真值的情况下，又可省略第二个命题的主语，这是符合语言习惯的。

　　例2、已知p: 菱形的对角线互相平分；q：菱形的对角线互相垂直，写出“p且q”。

　　解：p且q：菱形的对角线互相平分且(菱形的对角线互相)垂直、这个命题中括号内的部分可以省略。

　　文[1]中“4的平方根是2，或4的平方根是-2”，就不能简写成“4的平方根是2或-2”。

　　3．关于“非”的含义

　　“非”的含义有下列四条：

　　3．1 “非p”只否定p的结论

　　“非”就是否定，所以“非p”也叫做命题p的否定，但“非p”之“非”只否定命题的结论，不能否定命题的条件，也不能将条件和结论都否定，这也是“非p”与否命题的区别。所以欲写“非p”应先搞清p的条件与结论。

　　例3、p：有些质数是奇数。写出“非p”。

　　错解：有些质数不是奇数。

　　分析：因为p是真命题，所以“非p”应为假命题， 上述命题不假，故答案错。错误的原因是对p的条件与结论没有搞清楚。这个命题的条件是“质数”，结论“有些是奇数”，正确的解法：先将p写成等价形式，质数有些是奇数，“非p”：质数无奇数。不是用“不”否定“是”，而是用“无”否定“有些是”。

　　例4、p：方程x²-5x+6＝0有两个相等的实根。写出“非p”。

　　错解：方程x²-5x+6＝0有两个不相等的实根。

　　分析：命题p的条件是“方程x²-5x+6=0”，结论是“有两个相等的实根”，所以“非p”应否定“有”，而不能否定“相等”，所以“非p”应为：方程x²-5x+6＝0没有两个相等的实根。

　　3．2　 p与“非p”真假必须相反

　　例5、写出例1(2)中命题p的否定“非p”。

　　错解：非p：四条边都相等的四边形不是正方形。

　　因为p是假命题，“非p”必须是真命题，而上述命题也是假命题，所以上述命题不是“非p”。

　　正确答案为
　　“非p”：四条边都相等的四边形不都是正方形。
　　“是”的否定有时为“不是”、有时为“不都是”，要视“是”的含义而定，此例的“是”，其含义是“都是”，故其否定为“不都是”。

　　3．3 “非p”必须包含p的所有对立面

　　逻辑联结词“非”相当于集合在全集中的补集。假定p与“非p”的结论所确立的集合分别是A、B，则A、B必须满足A∪B＝U(全集)，A∩B＝。“非p”的结论必须包含p的结论的所有对立面。这一点如果不注意，使用反证法证题时就可能发生错误。因为反证法的理论依据是欲证p为真，可证“非p”为假，如果“非p”不包括p的所有对立面，反证法就站不住脚了。

　　例6、p:方程x²-5x+6＝0有两个相等的实根。写出“非p”。(与例4相同)

　　正像写一个集合的补集必须先搞清全集一样，这个题目也面临类似的问题。因为实系数一元二次方程的解的情况有三种，任何一种的否定都应该包含另外的两种，所以p的对立面是“方程x²-5x+6＝0有两个不相等的实根或无实根”。但“非p”不能这样写，而写成等价形式：方程x²-5x+6＝0没有两个相等的实根。

　　3．4 “非p”必须使用否定词语

　　写“非p”时还要注意，必须使用否定词语对正面叙述的词语进行否定。

　　例7、p: 方程x²-5x+6＝0有实根。写出“非p”。

　　错解：方程x²-5x+6＝0有虚根。

　　尽管“虚”是对“实”的否定，但“虚”不是否定词，“方程x²-5x+6＝0有虚根”仍是简单命题，正确答案为：方程x²-5x+6＝0无实根。

　　4．给定一个复合命题，写出构成它的简单命题时应注意的问题

　　例8、指出构成下列复合命题的简单命题：
　　(1)实数的平方是正数或0；
　　(2)4的平方根是2或-2；
　　(3)方程(x-1)(x-2)＝0的根为1或2；
　　(4)四边相等且四个角相等的四边形是正方形。

　　解：(1)p: 实数的平方可能是正数；q: 实数的平方可能是0。

　　注：因为实数的平方只有正数或0两种情况，所以由p、q构成的“p或q”中，“可能”一词就可省略而成为“实数的平方是正数或0”，文[1]中认为它是简单命题，这种认识是错误的。同样，后三个小题的答案为：

　　(2)p：4的平方根可能是2；q: 4的平方根可能是-2。

　　(3)p: 方程(x-1)(x-2)＝0的一个根是1；q: 方程(x-1)(x-2)＝0的一个根是2。

　　(4)p: 四边相等的四边形可能是正方形；q：四个角相等的四边形可能是正方形。

　　在由p、q写“p或q”、“p且q”时，有些词语可以省略，反过来由“p或q”、“p且q”写p、q时，省略的词语必须补上。而由“非p”写多时，必须先搞清“非p”的条件和结论。