函数与函数表示法

　　【基本知识点】

　　函数定义：A、B都是非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A。其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域。

　　函数的表示：函数关系可用列表法，图象法，解析法来表示。当对应法则可以用解析式表达时，一般用符号
y=f(x)表示；此时解析式本身就是从定义域到值域的对应法则。

　　函数的三要素：函数的三要素是指函数的定义域、值域、对应法则。只有两个函数的定义域，值域，对应法则完全相同，它们才是同一函数。

　　映射：有如下特点：（1）映射是从集合A到集合B的“一对一”或“多对一”两种特殊的对应。（2）映射中的两个集合可以是数集，点集或其它集合。集合A中的元素a在对应法则f的作用下，对应着集合B中的元素b，b叫做a的象，a叫做b的原象。（3）映射允许集合B中的元素在集合A中没有原象。

　　规律与方法：

　　1．给出一个函数最要紧的是必须给出定义域A与对应法则f。A与f都相同的两个函数一定是同一个函数。例如：
y=f(x)，x∈A与V=f(t)，t∈A就表示同一个函数（虽然表示变量的字母不同，但这无关紧要）。

　　2．求函数定义域时应注意以下几点：
　　①若解析式是分式时，应使分母≠0；
　　②若解析式是偶次方根时，应使被开方数≥0；
　　③若解析式中含x⁰的结构，则底数x≠0；
　　④若解析式是由实际问题建立的，还应考虑解析式的实际意义。

　　3．求值域常用方法：利用已知函数的值域求未知函数的值域、换元法、判别式法。

专 题 辅 导

　　1．函数是高中数学教学的重点

　　在初中阶段的后期开始接触函数，进入高中在第一章学习了集合的有关知识后，第二章即用集合、映射的思想重新定义函数，研究函数的一般性质，加深对函数的理解。

　　中学数学的许多内容都与函数密切有关。方程和不等式可以看作函数值变化的某种特殊情况，这一点大家在学习一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系时有所体会；指数函数与对数函数是运用刚学的函数知识研究的最简单的超越函数；三角函数是以角为自变量的特殊函数；数列可看作定义域为正整数集或其有子集{1，2，……n}的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值；极限、导数与微分、积分更是函数及其应用研究的深化和提高。可以说，函数的内容贯穿于中学数学教学的始终，其重要性自不待言。

　　2．函数一章中的有关重点

　　在初中阶段，大家对函数已有了一些基于变量对应的感性知识，进入高中后，为了深入理解函数概念，首先学习了映射的概念，然后利用集合映射的概念阐述函数的比较近代的定义，继而研究函数的定义域、值域、函数的单调性与奇偶性、反函数等带普遍性的问题，这些都是今后研究各种函数所需讨论的问题，因此，这些内容都是函数教学的重点。

　　3．函数一章中的有关难点

　　函数的符号y＝f(x)仅仅表示y是x的函数，这一点大家往往不能很好地理解把握，错误地将y＝f(x)看成一个等式或方程；求函数的值域情况比较复杂，没有处处都能适用的通法，要根据各种不同的情况采用各种不同的方法，只能在学习的过程中逐步介绍，大家须灵活应用；有关函数的单调性、奇偶性及与反函数相联系的综合问题，要进行比较抽象的探讨和证明，大家一开始往往不知从何下手、如何推断。

　　4．关于函数的概念

　　用集合与映射的概念理解函数，这既是教学的重点，也是教学的难点。一般用以旧带新进行比照的方法引入函数的新定义及表示符号y＝f(x)。关键是要对新定义的本质有比较深刻的理解。大家受到初中学过的具体函数如一次函数、二次函数及反比例函数的影响，往往将函数等同于解析式，认为函数就是y的值可以用x的一个解析式f(x)加以表示。要纠正大家的这种错误定向思维，教师要通过一些具体的实例使大家加深对函数概念本质的理解。例如某地某日24小时气温T随时间t而变化符合函数的概念，这一函数不可能用一个解析式表示，但它可通过气象站气温自动记录仪描绘出的曲线表示，即可用图象法表示。又如可引入函数f(x)=可说明它是定义在实数集上的函数，即对任一实数x，f(x)在集合{1，0}中都有唯一的值与之对应，定义域、值域和对应法则都简单明确，完全符合函数的新定义，但这一函数既无法用解析式表示，也无法作出图象来。

　　可以通过举例让大家进一步理解函数是由定义域、值域和对应法则所确定的，其中的值域可由定义域和对应法则确定：

　　1) y=x²-2x+1 (x∈R)与S=(t-1)² (t∈R)是同一函数。因为定义域、值域和对应法则完全相同，即函数的确定与变量字母的选取无关。

　　2) y=x+1与y=是不同的函数。虽然第二个函数化简后与第一个函数的解析式完全相同，但其定义域为x≠1，与第一个函数定义域为实数集R不同，因而两者是不同的函数。

　　3) y＝x与y=是不同的函数，这一点既可由值域不同得到，也可由x＜0时对应法则不同得到。

　　4) y=x², x∈{0,1}与y=x³, x∈{0,1},两个函数的解析式虽不一样，但定义域、值域和对应法则完全相同，都有x=0时，y＝0；x＝1时，y＝1。因此这两个函数是同一函数。