函数与方程

　　【内容提示】

     本节是在学习了函数的有关概念及其函数的图象、性质之后，将函数与方程有机地结合起来，使二者互相渗透。

　　【重点，难点和关键】

　　重点：利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
　　难点：借助计算器用二分法求方程的近似解。
　　关键：函数与方程的相互转化。

　【内容讲析】

　　1、任何一个函数y＝f(x)总与一个方程f(x)＝0相对应，方程f(x)＝0的根就是y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。
　　 对于方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)及函数y＝ax²＋bx＋c，当Δ＝b²-4ac＞0时，方程有两相异实根：x_1,2＝，则函数图象与x轴有两个交点(x₁，0) 和 (x₂ ，0)；当Δ＝0时，方程有两相等根x₁＝ x₂＝-，则函数图象与 x 轴有一个公共点 ；当Δ＜0 时，方程无实根，则函数图象与x轴没有公共点。

　　2、方程f(x)＝0的根也称为函数y＝f(x)的零点，若x₀是二次函数y＝f(x)的零点，则一定存在p、q∈R，p＜x₀＜q，使得 f(m)·f(n)＜0，但对任意的m＜x₀＜n，(m、n∈R)，不等式f(m)·f(n)＜0 不一定成立。

　　3、用二分法求方程f(x)＝0的近似解，主要是找一个区间(m，n),使f(m)·f(n)＜0，而后取区间的中间点 ，通过判断f(p)的正负与f(m)，f(n)的正负情况作一比较，确定取区间(m，p),还是区间(p，n)，若f(p)＝0，则p就是方程的根,逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点的近似值相同(符合近似值要求)这个近似值即为所求。

　　4、两个函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的横坐标就是方程f(x)＝g(x)的解，反过来，通过方程f(x)-g(x)＝0 可以构造两个函数 y ＝ f(x) 与 y ＝ g(x) ，通过求这两个函数图象交点的横坐标来求方程f(x)-g(x)＝0的解。

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