函数模型及其应用

　　【内容提示】

     本节是在学习了常见的函数，如一次函数、正(反)比例函数、二次函数、指数函数、对数函数之后，从实例出发，体验用函数描述实际问题的价值，认识到函数是客观世界变化规律的基本数学模型。

　　【重点，难点和关键】
　　重点：根据实际问题的情境建立函数模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的解答。
　　难点：建立数学模型。
　　关键：正确分析具体问题中已知与未知，变量与常量之间的关系。

    【内容讲析】

　　1、建立函数模型就是将实际问题转化为数学问题，是数学解决问题的关键，结合对函数性质的研究，通过解决数学问题，达到解决实际问题的目的。

　　2、运用函数的有关性质，解决某些函数的某些问题；或以运动和变化的观点，分析和研究具体问题的数量关系，通过函数的形式，把这种关系表示出来并加以研究，从而使问题得以解决；或对于一些从形式上看是非函数的问题出现的，但经过适当的数学变换或构造，使这一非函数的问题转化为函数的形式，并运用函数的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到顺利地解决，上述这一思想方法称为“函数的思想方法”。

　　3、常用到的函数的性质：
　　函数的定义域：即自变量可取值的范围(要注意实际意义)。
　　函数的值域：即函数值可取的范围。
　　函数的单调性：在某一区间内递增或递减的函数，叫做这一区间的单调函数，这个性质就是函数的单调性。
　　函数奇偶性：如果f(－x)＝f(x)，那么f(x)是偶函数，如果f(－x)＝－f(x)，那么f(x)是奇函数。
　　函数有界性：设有一个数m＞0，如果x在允许值的范围内，函数y＝f(x)的值的范围适合不等式|f(x)|≤m，这种函数就叫做有界函数，这个性质叫做函数的有界性。

　　4、解函数应用题的一般步骤：

　　(1)审题：认真阅读题目，分析已知什么，求什么，思考问题涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试问题的函数化。审题时要抓住问题中关键的量， 要勇于尝试、探索，善于发现、归纳，精于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化。
　　(2)引进数学符号，确定自变量与函数值，并用自变量(如：x)表示各相关的量。
　　(3)建立数学关系式，运用掌握的数学、物理等学科知识，建立函数关系，实现应用问题数学化。
　　(4)求解，根据问题要求，运用数学方法，求出结果。

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