平面、平面的基本性质及应用

　　【内容讲析】

    一、平面的基本性质回顾
　　平面的基本性质包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种方法：
　　（1）选不共线的三点
　　（2）选一条直线与直线外一点
　　（3）选两条相交直线
　　（4）选两条平行直线

　　二、证明共面的两种方法：
　　1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；
　　2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。

　　下面我们来分析两道例题：
　　例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.求证：a,b及直线AB，AC共面。

　　思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；

　　思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。

　　思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。

　　另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：
　　写法（一）：
　　证明：

　　∵a//b（已知）
　　∴a,b确定一个平面α（推论3）
　　∵A∈a, B∈b, C∈b（已知）
　　∴A∈α，B∈α，C∈α，
　　∴直线ABα，直线ACα（公理1）
　　∴a,b,AB,AC共面。

　　写法（二）：
　　证明：
　　∵a//b（已知）
　　∵a,b确定一个平面α（推论3）
　　∴A∈α，B∈b, C∈b（已知）
　　∴α经过A，B，C三点，
　　∵AB∩AC=A
　　∴ 直线AB，AC确定一个平面β（推论2）
　　∴β经过A，B，C三点，
　　∵A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）
　　∴A，B，C不共线，
　　∴α与β重合（公理3）
　　∴a, b，AB，AC共面。
　　关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。

　　例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。

　　分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。

　　已知：a//b//c,a∩d=A,b∩d=B,c∩d=C,求证：a,b,c,d共面。
　　
　　分析 由a//b可确定一个平面α；由b//c可确定一个平面β。因为α，β都经过两条相交的直线b和d,所以由推论2可知，α与β重合。（注意：α和β都经过的元素，还可有其它的选取办法，请同学们自己试一试）。

　　写法：
　　证明：
　　∵a//b（已知）
　　∴a,b确定一个平面α（推论3）
　　∵b//c（已知）
　　∴b,c确定一个平面β（推论3）
　　∵A∈a,B∈b,
　　∴A∈α, B∈α,
　　∴直线ABα即dα（公理1）
　　同理可证：dβ,
　　∴α，β都经过b和d，
　　∵b∩d=B
　　∴α与β重合（推论2）。

　　三、证明三线共点，三点共线的方法
　　1．三线共点：证其中两条直线的交点在第三条直线上；
　　2．三点共线：证三点都是两平面的公共点。

　　例3：已知如图，α∩β=l, aα, bβ, a∩b=A.
　　求证：A∈l（或者a,b,l共点）

　　分析：只需证明A为α，β的公共点。

　　证明：
　　∵a∩b=A, aα, bβ,
　　∴ A∈aα,　 A∈bβ,
　　即A为α，β的一个公共点，
　　∵l是α和β的交线，
　　∴A∈l.

　　例4：如图，已知延长ΔABC三边，AB∩α=D，BC∩α=E，AC∩α=F。
　　求证：D，E，F共线。

　　证明：
　　∵ΔABC顶点不共线，
　　∴A，B，C可确定平面β,
　　∵D∈α且D∈ABβ,
　　∴D是α，β的公共点。
　　同理可证：E，F也是α，β的公共点，
　　∴D，E，F都在α，β交线上，即D，E，F共线。

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